Crthuky

Functio quadratica est functio formae f(x)=ax2+bx+c;a,b,c∈R,a≠0displaystyle f(x)=ax^2+bx+c;a,b,cin mathbb R ,aneq 0. Graphium talis functionis parabola est.

Proprietates |

1.) Omnes functiones quadraticae continuae sunt atque omnibus numeris realibus definiri possunt.

2.) Ad monotoniam functionum quadraticarum parametrum a pertinet. Si a>0displaystyle a>0, primum parabola stricte monotone descendit usque ad solum extremum (hic minimum), dum stricte monotone ascendit. Si a<0displaystyle a<0, primum stricte monotone ascendit usque ad maximum, dum stricte monotone descendit.

3.) Derivatio talis functionis: (ax2+bx+c)′=2ax+bdisplaystyle (ax^2+bx+c)'=2ax+b. Quod haec functio linearis atque talibus functionibus solum unum zerum est, functio quadratica exacte unum extremum habet.

4.) Integralis functionis quadraticae: ∫(ax2+bx+c)dx=a3x3+b2x2+cx+d;d∈Rdisplaystyle int (ax^2+bx+c),dx=frac a3x^3+frac b2x^2+cx+d;din mathbb R

5.) Problemum reperiendi zera functionum quadraticarum valde magnum est, nam per eum numeri complexi nati sunt:

ax2+bx+c=0displaystyle ax^2+bx+c=0,

ergo ax2+bx=−cdisplaystyle ax^2+bx=-c,

ergo ax2+bx+b24a=b24a−cdisplaystyle ax^2+bx+frac b^24a=frac b^24a-c,

ergo (ax+b2a)2=b24a−cdisplaystyle (sqrt ax+frac b2sqrt a)^2=frac b^24a-c,

ergo ax1,2+b2a=±b24a−cdisplaystyle sqrt ax_1,2+frac b2sqrt a=pm sqrt frac b^24a-c,

ergo ax1,2=−b2a±b24a−cdisplaystyle sqrt ax_1,2=-frac b2sqrt apm sqrt frac b^24a-c,

ergo ax1,2=−b±b2−4ac2adisplaystyle sqrt ax_1,2=frac -bpm sqrt b^2-4ac2sqrt a,

ergo x1,2=−b±b2−4ac2adisplaystyle x_1,2=frac -bpm sqrt b^2-4ac2a

Functioni ergo duo zera sunt, si numerus D=b2−4acdisplaystyle D=b^2-4ac (discriminans, quod tres casus solutionum aequationis/zerorum functionis discriminat) positivus, unum zerum, si 0 est. Si autem D<0displaystyle D<0, functio nulla zera realia habet. Amplificando Rdisplaystyle mathbb R , mathematici copiam numerorum complexorum Cdisplaystyle mathbb C creaverunt. Hac in copia etiam casu D<0displaystyle D<0 zera, sed complexa sunt.

6.) Talis functio exacte unum extremum habet; computatur per derivationem functionis:

(ax2+bx+c)′=2ax+bdisplaystyle (ax^2+bx+c)'=2ax+b

Zerum derivationis extremum dat:

2ax+b=0displaystyle 2ax+b=0,

ergo x=−b2adisplaystyle x=-frac b2a

Si hic valor in termino functionis substituitur hicque transformatur, coordinatum y extremi reperiri potest: S(−b2a|4ac−b24a)displaystyle S(-frac b2a

7.) Derviatio secunda harum functionum semper numerus realis ≠0displaystyle neq 0 est, itaque quibus nulla puncta inflexionis sunt.

Nexus interni

• aequatio quadratica


• numerus complexus


• parabola

Nexus externus |

"maths online function plotter" - instrumentum quo graphia functionum describi possunt (lingua anglica)