Crthuky

Triangulum, tria puncta A, B, C, tres angulos α, β, γ, et tria latera a, b, c monstrans.

Triangulum^[1] sive trigonum^[2] seu trigonium^[3] est figura geometrica plana cui sunt tria latera et tres anguli.

Index

1 Summa anguli

2 Area

3 Triangulum rectum
- 3.1 Theorema Pythagorae
- 3.2 Theorema altitudinis
  - 3.2.1 Demonstratio
  - 3.2.2 Exemplum

4 Triangulum aequilaterum

5 Nexus interni

6 Notae

7 Nexus externi

Summa anguli |

Summa angulorum internorum trianguli est 180°: a + b + c = 180°

Area |

Area A trianguli datur a formula

displaystyle A=1 over 2,c,h

ubi c est longitudo lateris trianguli in figura supra descripta, et h est altitudo puncti C data a formula

displaystyle h=b,sin alpha

Equivalenter, possumus scribere

displaystyle A=1 over 2,c,b,sin alpha =1 over 2,a,b,sin gamma =1 over 2,a,c,sin beta

.

Triangulum rectum |

Triangulum rectum.

Triangulum rectum seu triangulum anguli recti est triangulum cui est unus angulus rectus (i.e., 90°). Latus angulo recto contrarium dicitur hypotenusa, et alia duo latera dicuntur catheti. Quod ad triangula recta attinet, praesertim haec duo theoremata maximi momenti sunt: theorema Pythagorae et theorema altitudinis.

Theorema Pythagorae |

De historia: Pythagoras re vera non fuit qui primus theoremate sibi tributo usus est, namque etiam Babylonii id cognoverunt. Alii fontes dicunt Aegyptios seu Indos primos fuisse.

Si in figura prima supra adlata, angulus γ = 90°, tunc latus c est hypotenusa et latera a et c sunt catheti. Tunc theorema Pythagorae dicit

displaystyle mathbf c^2=a^2+b^2

vel explicate:

displaystyle texthypotenusa^2=textcathetus primus^2+textcathetus secundus^2

Theorema altitudinis |

Triangulum rectum altitudinem h monstrans, et quidem punctum R et partes p et q.

De historia: Euclides, mathematicus Graecus (saec. IV a.C.n.), et theorema altitudinis et theorema Pythagorae in opere suo, quod de Elementis scripsit, exhibuit.

Altitudo $displaystyle h$ hypotenusam $displaystyle c$ in partes duas dividit: $displaystyle p$ sub catheto $displaystyle b$ et $displaystyle q$ sub catheto $displaystyle a$ . Ergo $displaystyle c=p+q$ . Tunc theorema altitudinis dicit

displaystyle h^2=pq

vel

displaystyle h=sqrt pq

.

Demonstratio |

Theoremate Pythagorae ad triangula usi habemus

displaystyle beginarrayrcla^2&=&q^2+h^2\b^2&=&p^2+h^2\c^2&=&a^2+b^2endarray

Additis aequationibus prima et secunda habemus

displaystyle a^2+b^2=p^2+q^2+2h^2.

Et $displaystyle c=p+q$ in aequatione tertia substituendo obtinemus

displaystyle a^2+b^2=(p+q)^2=p^2+2pq+q^2.

His aequationibus obtinemus

displaystyle beginarrayrclp^2+q^2+2h^2&=&p^2+2pq+q^2\2h^2&=&2pq\h^2&=&pqendarray

aut aequivalenter

displaystyle h=sqrt pq

.

QED.

Exemplum |

Tectum creare vis quod angulum rectum habet. Si p = 4 et q = 9 pedes, quae est altitudo h?

Solutio: 4*9 = 36, et h = 6 pedes.

Triangulum aequilaterum |

Triangulum aequilaterum

Triangulum aequilaterum tres angulos aequales, tria quoque latera aequalia habet. Sex talia triangula hexagonum faciunt. Totius plani per triangula aequilatera tesselatio est deltilus.

Nexus interni

Trigonometria

Trisceles

Triangulum arithmeticum Pascalianum

Triangulus rectus praecipuus

Notae |

↑ Lewis, C.T. & Short, C. (1879). A Latin dictionary founded on Andrews' edition of Freund's Latin dictionary. Oxford: Clarendon Press.

↑ Kraus, L.A. (1844). Kritisch-etymologisches medicinisches Lexikon (Dritte Auflage). Göttingen: Verlag der Deuerlich- und Dieterichschen Buchhandlung.

↑ Saalfeld, G.A.E.A. (1884). Tensaurus Italograecus. Ausführliches historisch-kritisches Wörterbuch der Griechischen Lehn- und Fremdwörter im Lateinischen. Wien: Druck und Verlag von Carl Gerold's Sohn, Buchhändler der Kaiserl. Akademie der Wissenschaften.